Hình hyperbol

Hình Hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây với tâm có tọa độ là (h,k):

( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}

Phương trình chính tắc của đường hyperbol trong hệ tọa độ Descartes khi có tâm trùng với gốc tọa độ:

( x ) 2 a 2 − ( y ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(x\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y\right)^{2}}{b^{2}}}=1}

Trong đó c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} và 2c là tiêu cự

• Trục thực của hyperbol đi qua tâm của hình hyperbol và cắt các nhánh tại các đỉnh của mỗi nhánh. Các tiêu điểm cũng nằm trên đường thẳng chứa trục thực của hyperbol.
• Trục ảo vuông góc với trục thực tại tâm của hyperbol.
• Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật có các đỉnh nằm trên các đường tiệm cận và có hai cạnh là hai tiếp tuyến của hyberbol, độ dài của hai cạnh này bằng 2b đơn vị độ dài, hai cạnh còn lại song song với trục thực có độ dài bằng 2a đơn vị độ dài. Chú ý rằng b có thể lớn hơn a.

Tính khoảng cách từ một điểm bất kì tới hai tiêu điểm, hiệu hai giá trị này luôn luôn bằng 2a.

• Tâm sai được tính bằng công thức

ε = 1 + b 2 a 2 = sec ⁡ ( arctan ⁡ ( b a ) ) = cosh ⁡ ( arsinh ⁡ ( b a ) ) {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}=\sec \left(\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)\right)=\cosh \left(\operatorname {arsinh} \left({\frac {b}{a}}\right)\right)}

Nếu c bằng khoảng cách từ tâm cho đến mỗi tiêu điểm, ta có

ε = c a {\displaystyle \varepsilon ={\frac {c}{a}}}

trong đó

c = a 2 + b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} .

Khoảng cách c được hiểu là nửa tiêu cự của hyperbol. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm (tiêu cự) bằng 2c hay 2aε.

• Tiêu điểm của đường hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây được xác định bởi công thức:

( h ± c , k ) {\displaystyle \left(h\pm c,k\right)}

và đối với đường hyperbol Bắc-Nam được xác định bởi công thức

( h , k ± c ) {\displaystyle \left(h,k\pm c\right)} .

• Đường chuẩn của đường hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây được xác định bởi công thức

x = h ± a cos ⁡ ( arctan ⁡ ( b a ) ) {\displaystyle x=h\pm a\;\cos \left(\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)\right)}

và đối với đường hyperbol nằm theo hướng Bắc-Nam được xác định bởi công thức

y = k ± a cos ⁡ ( arctan ⁡ ( b a ) ) {\displaystyle y=k\pm a\;\cos \left(\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)\right)} .

Hình hyperbol đều

Hình của hyperbol đều y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} .

Đối với đường hyperbol đều có trục tọa song song với các đường tiệm cận:

( x − h ) ( y − k ) = c {\displaystyle (x-h)(y-k)=c\,}

Ví dụ đơn giản nhất của hình hyperbol đều

y = m x {\displaystyle y={\frac {m}{x}}\,} .

Cực của đường hyperbol

Hình hyperbol nằm theo hướng đông-tây:

r 2 = a sec ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=a\sec 2\theta \,}

Hình hyperbol nằm theo hướng bắc-nam:

r 2 = − a sec ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=-a\sec 2\theta \,}

Hình hyperbol nằm theo hường Đông Bắc-Tây Nam:

r 2 = a csc ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=a\csc 2\theta \,}

Hình hyperbol nằm theo hường Tây Bắc-Đông Nam

r 2 = − a csc ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=-a\csc 2\theta \,}

Hàm số

Hình hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây

x = a sec ⁡ t + h y = b tan ⁡ t + k o r x = ± a cosh ⁡ t + h y = b sinh ⁡ t + k {\displaystyle {\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {or} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\\\end{matrix}}}

Hình hyperbol nằm theo hướng Bắc-Nam:

x = a tan ⁡ t + h y = b sec ⁡ t + k o r x = a sinh ⁡ t + h y = ± b cosh ⁡ t + k {\displaystyle {\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {or} \qquad {\begin{matrix}x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}}

Trong công thức (h,k) là tọa độ tâm của hyperbol, a bằng nửa độ dài trục thực, và b bằng nửa độ dài trục ảo.